数学益智小游戏系列介绍之汉诺塔问题

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汉诺塔:汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

中文名称 汉诺塔 外文名称 Tower of Hanoi 地理位置 印度一个古老传说的益智玩具 又 称 河内塔

由来及传说

由来

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 [2]

不管这个传说的可信度有多大,如果考虑一下把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片,移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7,且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时,

假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一个平年365天有31536000 秒,闰年366天有31622400秒,平均每年31556952秒,计算一下:

18446744073709551615秒

这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上,而地球存在至今不过45亿年,太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年,不说太阳系和银河系,至少地球上的一切生命,连同梵塔、庙宇等,都早已经灰飞烟灭。

 

印度传说

和汉诺塔故事相似的,还有另外一个印度传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么,他对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3个小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!”国王觉得这个要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。

那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?总数为

1+2+2^2 + … +2^63=2^64-1

等于移完汉诺塔所需的步骤数。我们已经知道这个数字有多么大了。人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子!

 

对于复杂的问题,就应该利用数学的一个简单思维:一般化~将一切问题简单化,寻找规律~

汉诺塔是一款适合家长可以带着孩子一起来玩的益智游戏。可以先从3个盘,4个盘开始~

比如,当汉诺塔上只有3个圆盘的时候,移动的次数可以是7次~;当汉诺塔上只有4个圆盘的时候,移动的次数可以是15次~

那么~

2个圆盘的时候是3次 = 2的2次方减1

3个圆盘的时候是7次 = 2的3次方减1

4个圆盘的时候是15次 = 2的4次方减1

5个圆盘的时候是31次 = 2的5次方减1

所以,n个圆盘的时候是:2的n次方减1



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