中国奥数第一人:你对数学的疑惑,这里都有解答!

中国奥数第一人:你对数学的疑惑,这里都有解答!

文 | 孙路弘 编辑 | 金雀儿

最近,我们收集了一次“孩子在数学学习路上的那些疑惑事儿”的问题征集。

果然是不征不知道,一征吓一跳!原来大家竟有这么多的疑惑!

于是乎,我们整理出来了最具代表性的11个家长困惑,并且专门为大家请来“中国奥数第一人”孙路弘老师来针对这些问题为大家逐一解答。

话不多说,我们开始吧!

一问:12 岁以下的孩子

对抽象概念掌握的程度一样吗?

中国奥数第一人:你对数学的疑惑,这里都有解答!

答:程度不同。

数学学习所涉及的关键就是抽象概念。比如,“两个数相加”这个说法,孩子都能懂,而说“两个数的和”,一些孩子就不懂了。

“两个数的和”就是“两个数相加”的抽象说法。任意数的和,就更抽象了。

甲乙两地相距 20千米,这句话中,甲、乙就是抽象词汇。抽象词汇需要思维的加工,要能够把抽象词汇的意思变成另一个具体的意思,如北京市西城区到朝阳区有20千米。这就是抽象思维具象化的一种表现。

抽象思维有三个表现:

  • 第一,能够将具体的事物用概括的方式表现出来。
  • 第二,能够对概括的事情和说法进行组合、变化,并操作。
  • 第三,能够将抽象的事物用具体的例子进行解释。

有的孩子9岁就能表现出对抽象词汇的理解能力,有的孩子要到15岁才有可能表现出抽象化加工的痕迹。对抽象概念的掌握确实能够说明一个人未来的思维表现水平。

比如,抽象能力较强,理解事物的深度也就超越多数人;抽象能力较弱,很多需要脑力劳动的工作就难以胜任。

抽象能力可以说明一个人的智力发展情况。

但要区分的是,不同的孩子有不同的发展节奏。有些9岁就具备很强抽象能力的孩子,到了15岁就开始出现退化的痕迹,这种情况是常见的。当

孩子表现出抽象能力的时候,要区分的是,这种能力是依靠记忆力表现出来的,还是依靠理解力表现出来的。

对父母而言,实际而具体的启发意义在于,不能强求自己的孩子与别的孩子发展表现一样。自然情况下的发展,才是每个孩子自身适应性最佳的节奏。

女孩通常在三四岁就能够表现出对大量词语的使用能力,而实际上,那仅仅是模仿而已,这种模仿是依靠记忆力来实现的。这种情况到了八九岁,表现出来的就是好像懂得很多,所用的词汇中抽象词汇较多,其实这并不能说明就是聪明,或者智商水平高,这仅仅是记忆力的一种表现。

男孩的发育节奏与女孩完全不同。

不理解的时候,他们表现出来的就是不会,难以使用记忆力。无论是做题还是写作文,男孩的表现都要迟钝一些。实际上,这样的孩子到了12岁左右,理解力便开始成熟,思维也开始发力。到了15岁,他们学业上的表现就普遍开始超越女孩,依靠的便是理解力。

这时,多数女孩还在依靠自己的记忆力学习,越来越吃力。

这就是数学的一个功效,能够辅助孩子形成自己的思维能力,尤其是抽象思维能力。孩子形成抽象思维能力的节奏不同、阶段不同、表现不同,这些都需要父母和老师识别出来,并针对孩子阶段性的表现以及阶段性发展的特点进行辅导。

二问:计算快、准确性高的孩子数学水平就高吗?

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答:不一定,多数情况下不高。

有一个非常普遍的情况是,多数父母和老师都要求孩子计算快、准确性高。孩子的突出表现如果与老师和父母所施加的这种压力有密切的关系,那么这个孩子的数学水平实际上就已经开始出现延缓发展的苗头了。

15岁以下是人的认识水平逐渐形成的关键时期,这是由大脑的发育、发展过程决定的。

大脑在发育过程中最擅长的是接受新生事物,新的做法、新的形式、新发生的事情,一切都是新的。大脑在成熟后,其活动才更多的是以重复为核心,通过做重复的事情提高效率,这都是15岁以后的事情。

如果在12岁以前,也就是小学阶段,甚至是幼儿园阶段,大人要求孩子背诵和熟练处理数字计算,这些动作都不是新的,而是机械化的重复行为,那么孩子的大脑就开始懈怠,并缩小脑神经扩展的力度,不再高速发育并覆盖全脑,而是局限在一个区域中,不断重复和加深。

15岁以后,当需要大脑更多地加工知识、处理信息、解决问题的时候,脑力就不够了。一个主要原因就是过早训练了大脑效率,从而约束了大脑区域扩张的发展。

所以,计算快、准确性高的孩子数学考试成绩好,数学能力却弱,因而实际水平多数是不好的。每个阶段,孩子的智力都有这个阶段要发展的项目,如果将脑力用于发展一个5年后才需要发展的内容,就错过了那个阶段原本应该发展的部分。

9岁以前,应该重点发育的脑力是数感、空间感、乐感、协调感,让大脑能够全面发育,对身体的各个部分进行控制,这是智力的一个核心基础,在控制的过程中,从反馈中形成对世界的认识。

数学在智力发展过程中所扮演的角色就是激发大脑熟悉数字、熟悉规律、熟悉关联、熟悉因果……通过数数,通过数列,通过加减乘除的运算,通过各种与生活相结合的数学运用,包括路上的时间、书包的重量等,通过各种深入的结合,推动大脑皮层的活跃。

三问:不是每个孩子都适合学习数学吗?

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答:对!不是每个孩子都适合从事数学工作,不是每个孩子都对数学敏感,不是每个孩子都必须要喜欢数学。不过,每个孩子都应该学习数学。

“适合”这个词包括三种情况:

  • 对于所接受的内容,能够掌握75% 以上。
  • 对于所需的时间,在大脑开始出现厌烦情绪前,能够掌握到75%。
  • 平时在没有提示的情况下,还能够主动想到一个内容。

对于数学,如果出现了以上三种情况,这个孩子就是适合的。如果以上三种情况都没有出现过,就是不适合。

适合与不适合是一个培养的过程。

就算是不喜欢数学的孩子,如果遇到一个老师,这个老师的表现和言谈举止一下子就能让孩子喜欢,他就会开始熟悉数学、习惯数学,并出现以上三种情况中的第一种,接着就是第二种,然后出现第三种。

三种情况都出现后,就会形成正向循环,孩子的数学也就开始有感觉了,有了进步,不再害怕,不再担心,不再感到陌生,他渐渐地也就开始变得适合学习数学了。

四问:记忆力好的孩子容易学好数学吗?

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答:记忆力有两种:第一种,即时记忆力;第二种,延续记忆力。

孩子看到老师在黑板上演示一道题后,再做一道类似题目时,能够照猫画虎,大概的样子非常像老师在黑板上演示出来的内容,这就是即时记忆力的表现。

背诵九九乘法表,这是即时记忆力的强化与深入,是大脑局部神经元回路的深化过程,这个过程如果是对21岁以上的人来说,是非常有效的。但对15岁以下的人来说,这个回路的活动却是以损失神经元扩展活动为代价的。

如果孩子到了初一,还能够立刻计算出一个长方形的面积,使用了长方形面积公式,那么,这个长方形面积计算公式就是延续记忆力的结果。

学好数学需要的是延续记忆力,不是即时记忆力。

即时记忆力主要用于身体动作的模仿和短期任务指令的执行。延续记忆力的基础是理解力。数学需要理解力,理解力也能够通过学习数学得到培养。

五问:孩子对数学概念的理解,

要么就是懂了,要么就是没懂,对吗?

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答:对。

比如数位,这是一个概念,懂了,就知道到十要进一位,不够就借一位。高位代表的是多少,给0排队在后面。位置不同,代表的量数不同。这就是理解了。

很多学生,貌似会做进位、借位、错位、定位的题目,实际上依靠的都是记忆力,即时记忆力,然后变成一种习惯下意识。这不是理解。他们看起来会做题,也能够做对,但实际上是“晕”的状态。含糊着驾驶,等道路更加曲折、有更多坎坷的时候,就散架了。

一些学生到了小学五六年级时开始感到吃力,就是这个原因。

到了初中,跟不上的学生越来越多,随着知识量的增加,信息量的增加,他们积累了越来越多不懂的概念,模糊的、含糊的概念纠缠在一起,错题就越来越多,受到的打击就越来越大,自信就开始降低,最后索性认输了。

六问:速算好的孩子一定数学好吗?

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答:不一定。多数情况不好。

数学好要分三种情况来看:

  • 第一种,是数学考试成绩好,还是数学思维好;
  • 第二种,是小学时好,还是中学时好;
  • 第三种,是已知的好,还是未知的好。

第一种:数学考试成绩好,完全不等于数学思维好。考试测试的是学生对老师所教知识的掌握情况,很多情况下考试题目不能体现数学的思维活动。

第二种:很多学生上小学时数学考试分数不错,到了初中就开始下滑,高中听课就跟不上了,学过的数学知识也就渐渐遗忘了,从此也不再接触数学了。

第三种:老师教过的内容,就是已知内容,掌握得不错,那是记忆力好。对于未知的事物、没有学过的内容,自己完全没有能力学习,当然也就无从掌握,更谈不上数学思维能力了。

以上三种都是对一个学生数学好坏的区分,区分本身就是一种重要的数学思维。

七问:解题能力强的孩子数学能力一定好吗?

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答:不一定。有好的情况,也有不好的情况。

拥有数学能力的最终目的不是解题。解题仅仅是将数学思维能力中的一部分使用出来的表现。数学能力还有一个用途就是提出问题

遇到日常生活中的各种情况,能够形成问题并描述出来,构建出已知部分以及希望解决的未知部分。

这个提问的能力,是数学思维最终要培养的能力。仅仅会解题,只是思维的一个阶段,再高一个级别的阶段,就是提出完整的问题。

也就是说,如果具备提问的能力,能够将生活中遇到的事情变成一个问题,然后尝试用数学的方式来解决这个问题,这就是数学能力较好的完整表现。

八问:提问多的孩子数学水平好吗?

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答:仅仅从提问多,不能判断孩子的数学水平。

提问多,已经表明这个孩子能够将自己观察到的事情以及感受到的事情变成一个问题提出来,说明他具备了数学所要培养的最终能力的初级表现形式。

鼓励孩子提问,并通过回答孩子的问题,引导孩子提出进一步的问题,再进一步的问题,不断探索、前行,孩子的数学水平也就得到了提高。

九问:多练习、多做题就能提高数学能力吗?

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答:能够提升部分能力,也就是做题的能力。

大量做题通常对学生有三个方面的影响:

  • 形成做题的惯性,并形成一套标准的流程做法。
  • 学习新的内容时,不关注内容的作用,而仅仅关注能用于做题的部分。
  • 思维定形为做题模式。

以上三种影响在孩子思维的发展、知识的灵活掌握,以及将其用于改善自己的生活、迎接新事物的挑战上都没有帮助。遇到类似的题目会做,题目条件稍微变化,就失去了主见,没有了办法。

这是应试教育的典型结果。

十问:不算学校的考试、测验等结果,

妈妈在家有什么方法能了解孩子的数学水平?

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答:想了解孩子的数学水平,首先要知道数学水平是什么,肯定不是解答数学题,也不是考试成绩,而是数学思维的表现。

数学思维在家庭生活中的表现,有如下三个方面:

  • 遇到新的没有接触过的事物,表现出充分的好奇,具体表现是注意力集中,维持长时间的关注,并渐渐表现出对事物的了解。
  • 能够预测家中的事情。比如,爸爸大概几点回家;妈妈倒水后,通常会把杯子放到哪里;看到妈妈在厨房,能够预测晚上吃什么……
  • 对时间敏感,对数量敏感,对大小、远近、快慢等基础常识比较的概念熟悉,并会运用。

以上三点是在家中,父母可以通过观察来了解孩子智力水平的途径。数学是塑造智力发展的,智力发展的目的是改善自己的生活,而具体的入手点就是预判事情,预备自己的情况,发现规律、运用规律,达到自己的目的。

十一问:小学奥数学习对孩子有好处吗?

我的孩子适合参加奥数学习吗?

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答:对有的孩子有帮助,对有的孩子没有帮助。

不是所有的孩子都适合学习奥数,大约98%的孩子没有必要学习奥数,而其中约95%的孩子,学习奥数没有什么好处。

好处是一种比较而言的说法,如果父母在意升学,那么借助奥数成绩就是一个具体的目的,通过奥数学习,如果能够达到这个目的,就去学吧。

不过,在达到入学目的后,学习奥数的消极危害并不会轻易消除,而且会持续影响孩子以后的发展。父母在追求孩子短期目标的同时,看不到长期的发展,只顾短期有利,那么,这是父母自己的选择。

判断孩子是否能通过奥数的学习获得长期的帮助,应该从三个方面来考虑:

  • 孩子自己是否有兴趣,而不是父母诱惑出来的。
  • 孩子平时的注意力、理解力是否属于中等偏上。
  • 孩子的学习模式是什么样的,是那种认真做笔记的,还是那种沉思型的?是做题偏快的,还是偏慢的?

奥数是培养抽象思维能力的,而不是教会孩子做题技巧的,也不是给孩子示范窍门和捷径的。训练思维才是奥数的核心目的。

训练思维不是通过大量做题,而是题目少,但可以做的层次多,题目简单,却包含多个层次的思考。比如:至少有多少人在一起,就必然会碰到有两个人生日在同一个月的情况?

布谷说说

除了以上的11个问题,还经常有家长问:女孩天生对数学不擅长,长大以后其实也没有什么影响对吗?

答案是肯定的。

女孩对数学不擅长多数是指中学以后,尤其是高中以后的表现。数学表现良好的,很多都是男生。在从事数学工作的人中,性别比例也是失衡的,不仅中国如此,美国如此,欧洲多数国家也都是如此。

人生发展到社会生活阶段以后,需要用到数学的工作并不是很多。数学水平的高低对生活的影响并不明显。若普通人以平凡的生活为目标,98%的生活琐事用不上数学,因而数学不好并不会带来生活水平的下降。

不要让孩子在天性薄弱的项目上耗费时间,应该将宝贵的时间用在孩子的强项上,这既是为孩子树立信心,也是要让他们将来长大成人后,能有一技之长在手。

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孙路弘

毕业于北京师范大学数学系,曾任北京师范大学附属实验中学数学老师。自称脑力工程师,擅长调整智力结构、塑造思维形态,从心理学、脑神经科学入手,解读孩子成长过程中的心理、大脑和认知变化。曾翻译图书《孩子天生会数学》,著有《妈妈教的数学》《爸爸教的数学》。



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